Soru 2. (ax/ay)x-y . (ay/ax)x-y işleminin sonucu nedir?
A) ay B) a C) ax
D) 1 E) ax-y
(1982/1)
Cevap 2. Yanıt D dir.
(ax/ay)x-y.(ay/ax)x-y =(ax/ay.ay/ax)x-y
=(1)x-y=1

Soru 3. 4p=5 olduğuna göre 23p nin değeri nedir?
A) 1+√5 B) √5-1 C) 5 √5
D) √5/5 E) √5
(1982/2)
Cevap 3. Yanıt C dir.
Gerekli Kavram ve Bilgiler:
I) (an)p =anp
Çözüm:
4p =5 → (22)p = 5
→ 22p =5……………………..(I)
→ (2p)2 =5
→ 2p = √5 ” dir. Buna göre,
→ (2p)3 = (√5)3
→ 23p = (√5)2 . √5 …………. (I)
→ 23p = 5√5 olur.

Soru 4. 1 1
——————— + ———————
ax-y +1 ay-x +1
ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1 B) ax C) ax+y
D) a E) ax-y
(1982/2)
Cevap 4. Yanıt A dır.
Gerekli Kavram ve Bilgiler:
I) a-n = 1/an ; am-n = 1/am-n
Çözüm:
1 1
——————— + ———————
ax-y +1 ay-x +1
1 1
=___________ + _____________……………(I)
ax-y +1 1
_____
ax-y
1 1
= _________ + ______________
ax-y+1 1+ ax-y
_________
ax-y
1+ax-y
= __________ = 1
ax-y+1

Soru 5. (1/2)2-1/2)6
Bölme işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 24 B) 1/23 C) -1/23
D) -23 E) -24
(1983/2)
Cevap 5. Yanıt A dır.
(1/2)2 : (-1/2)6 = 1/22:1/26 = 1/22.26/1
= 26/22=26-2 = 24

Soru 6. 34a5-x
———————-
32a1-2x
ifadesinin kısaltılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9ax+4 B) 6ax+4 C) 6a6-3x
D) 9a6-x E) 2a6-3x
(1984/2)
Cevap 6. Yanıt A dır.
Gerekli Kavram ve Bilgiler:
I) am/an=am-n
Çözüm:
34a5-x
——— = 34-2.a(5-x)-((1-2x) (I)
2a1-2x
= 32.a4+x=9a4+x

Soru 7. (-a)7(-a4)(-a)-2 çarpımının sonucu nedir?
A) a9 B) -a9 C) a-9
D) a13 E) -a13
(1985/1)
Cevap 7. Yanıt A dır.
(-a)7=-(a7)=-a7
(a)-2= 1/(-a)2 =1/a2 dir.
Buna göre,
(-a)7.(-a4)=(-a7)).(((-a4)9.1/a2
= a7+4/a2=a11/a2=a11-2=a9 dur.

Soru 8. (0,04)2+√0,0009
İşleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 83.10-2 B) 162.10-3 C) 32.10-3
D) 19.10-3 E) 316.10-4
(1985/1)
Cevap 8. Yanıt E dir.
(0,04)2+ √0,0009=0,0016+√(0,03)2
=0,0016+0,03
=0,0316=316/104
=316.10-4

Soru 9. a2b
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A)0 D)b>2 E)b<0
(1985/1)
Cevap 9. Yanıt E dir.
Her a gerçel sayısı için a2≥0 dır.
(a2≥0 ve a2< ) → a >o dır.
(a2<0 ve a>0) → a2/a → a < 1 olur.
(a<1 ve ab>b)9 → b<0 dır.

Cevap 37. Yanıt E dir.
2.7a.2a
-----------=32
4.7a
2a
---=25
2
2a=26
a=6

a0, a1, a2, ….an-1, an  R ve n  N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + …. + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denir.

1. an xn, an-1 xn-1, …., ak xk, ….., ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir.
2. an, an-1, …., ak, …., ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir.
3. P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir.
4. Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir.
5. P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + …. + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2×2 + …. + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır.
6. Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R
ile gösterilir.

Örnek:
P(x) = 2×5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n  N kaç olmalıdır?

Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır.
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2  0 den n  2 olması gerekir. O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır. Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2×5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2×4 + x + 4 dür.

ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM

P(x, y) = x3y2 – 2×4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir.
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür.
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir.
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır.
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir.

Örnek
P(x, y) = 2×2y4 – 3×3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?

Çözüm:
2×2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3×3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir. O halde, der P(x, y) = 8 dir.

Örnek
P(x) = x3 – 3×2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?

Çözüm:
P(2) = 23 – 3.22 + 4.2 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur.
P(0) = 03 – 3.02 + 4.0 – 2 = - 2 bulunur.
P(1) = 13 – 3.12 + 4.1 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur.

SIFIR POLİNOMU

P(X) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = … = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + … + 0×2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir.

Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.

Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır.

SABİT POLİNOM

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = … = a1 = 0 ve a0  0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir.

0xn + 0xn-1 + … + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir.
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0×0 biçiminde yazılabilir. Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır.

Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim.

Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır. Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır.

İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir.

n. dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2×2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + … + b2×2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x)  an = bn, an-1 = bn-1, … , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır.

Örnek
A(x) = 5×3 + (a + 1×2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3×2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor. A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım.

Çözüm
A(x) = 5×3 + (a + 1)x2 + d = 5×3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3×2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x)  5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir.

POLİNOM FONKSİYONLARI
P : R  R
x  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir.

P : R  R
x  P(x) = 5×3 + 2×2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur.

Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur.

II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım.
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur.

Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2×2 + 4 eşitliği veriliyor. Buna göre P(x) polinomunu bulunuz.

Çözüm
P(x+2) = x3 - 2×2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2  h –2 = x’i yerine yazalım.
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur.

POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI

P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + … + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur.
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur.

Örnek
P(x) = 2×4 + 5×3 – 3×2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.

Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım.
P(1) = 2.14 + 5.13 – 3.12 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur.

POLINOMLARDA İŞLEMLER

Polinomlarda Toplama İşlemi

A(x) = a4×4 + a3×3 + a2×2 + a1x + a0
B(x) = b3×3 + b2×2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir.
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0

Örnek
P(x) = x3 + 2×2 – 3x + 1, Q(x) = 3×2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuz.

Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + = x3 + 5×2 + (3-3) x + 5 dir.

Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır.

1. Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3. Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
4. Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır.
5. Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır.

İki Polinomun Farkı

P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir.
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir.

Örnek
A(x) = 5×4 + x3 – 3×2 + x + 2 ve

B(x) = - 5×4 + x3 + 2×2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım.

Çözüm
B(x) = -5×4 + x3 + 2×2 + ise, -B(x) = 5×4 - x3 – 2×2 - dir.
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5×4 + x3 – 3×2 + x + 2) + (5×4 - x3 –2×2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10×4 – x3 – 5×2 + x - olur.
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur.
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır.

Polinomlarda Çarpma İşlemi

A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur.
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn . bkxk = (an . bk) xn+k dir.
Yani (5×3) . (-2×4) = 5 . (-2) x3+4 = -10×7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz.
Der [A(x) . B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))

Örnek
A(x) = 3×4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor.
a) A(x) . B(x)
b) B(x) . C(x) çarpımlarını bulunuz.

Çözüm
a) A(x) . B(x) = (3×4 + 1) . (x2 + x)
= 3×4 . x2 + 3×4 . x + x2 + x
= 3×6 + 3×5 + x2 + x

b) B(x) . C(x) = (x2 + x) . (x2 – x + 1)
= x2 . x2 – x2 . x + x2 . 1 + x . x2 – x . x + x . 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur.

ve a 0 olmak üzere ax +b=0 şeklindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x sayısına denklemin kökü, bu kökün oluşturduğu kümeye çözüm kümesi denir.

ax+b=0 ise sayısı denklemin köküdür.

Çözüm kümesi:

Ç= olur.

Örnekler:

1) 6x +12 =0 denkemini çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

6x= -126x+12=0
x= x=-2 Ç= olur.
2)-5x + 6 + x = 1 –x + 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Çözüm:

-5x+ 6+ x =1 –x +8
-4x + 6 = -x + 9
-4x +x = 9-6
-3x=3
x= -1 Ç=
3) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çöm: denklemde paydası eşitlenir:

4) x-{2x-[x+1-(3x-5)]} = 3 ise x kaçtır?
Çözüm:

[x+1-3x+5]
[-2x+6]
{2x+2x-6}
x-4x+6 = 3
x= 1 Sonuç: 1-3x =

5) 9(1-2x) – 5(2-5x) = 20 denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm:

9(1-2x) – 5(2-5x) = 20
9-18x-10+25x = 20
7x-1= 20
7x = 21
x = 3
Sonuç: 3

6) x 2 x 1
—– + —– = —– + 1—– denkleminin çözüm kümesi nedir?
3 5 5 3

Çözüm:
x 2 x 4
—– + —– = —– + —–
3 5 5 3
(5) (3) (3) (5)

5x+6 3x+20
——- = ——- = 5x + 6 = 3x+20
15 15

x = 7 Sonuç: 72x = 14

7) Kendisine katı eklendiğinde 72 eden sayı kaçtır?

Çözüm:

=
2x+5=1 ise “x” kaçtır?

Çözüm:
2x = -4
Sonuç = {-2}x = -2

9) Toplamları 77 olan iki sayıdan birinin 3 katı, aynı sayının 4 katıyla toplamına eşittir.Bu Sayıların Küçük Olanı Kaçtır?

Çözüm:

3x+4x = 77
7x = 77
x = 7
3x = 33 Sonuç = {33}

10) Bu denklemdeki x’ in değerini bulunuz.
Çözüm:

x = 5 Sonuç = {5}

11) “x” in değerini bulunuz.
Çözüm:

- 45 = 5x-35
5x = -10
x = -2

Sonuç = {-2}

12) “x” in değerini bulunuz.

Çözüm:

3x-5 = -20
3x = -15
x = -5 Sonuç = {-5}

13) denklemini ve koşuluyla x’i bulunuz.
Çözüm

x=-1 fakat (x 1 ve x koşulundan dolayı

Ç=Ǿdir

14) için x ’in değeri kaçtır?
Çözüm
x=3 (x 3 koşulundan dolayı )

Ç=Ǿdir

Birinci Dereceden İki
Bilinmeyenli Denklemler

olmak üzere açık önermesine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
denkleminde x ’e verilebilecek her değer için bir y değeri bulunabilir. Bulunan (x,y) ikililerinden her birine denklemin bir çözümü denir. Çözüm kümesi sonsuz elamanlıdır.

Örnekler:

1) denklemini çözüm kümesini bulup düzlemde göster.

(0,-1)x=0 için y=2.0-1
(1,1)x=1 için y=2.1-1
(2,3)x=2 için y=2.2-1
(3,5)x=3 için y=2.3-1
(y 2x –1)x için y=2x-1

Doğal sayılar 0′dan başlayarak sonsuza kadar giden sayılardır. Matematikte doğal sayılar kimesi N ile gösterilir.
N={0, 1, 2, 3,…}

Doğal sayılar ismi bu sayıların doğada görüp tanıdığımız sayılar olduğu fikrinden ileri gelmektedir.

Sayma sayıları 1′den başlayarak sonsuza kadar giderler. Doğal sayılardan farkları “0″ sayısını içermemeleridir. Bunun mantığı herhangi bir şeyi (örneğin kalemleri) sayarken 0′dan değil birden başlanmasıdır.
Tam sayılar eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar giderler. Yani “0″ın iki yanından sonsuza kadar uzanırlar. Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
Z={…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}

Başında “+” işareti bulunan veya birşey bulunmayan sayılar pozitif tamsayılar adını alırlar. 0′ın sağ yanında yer alırlar. Tüm sayma sayıları pozitif tam sayılardır. Pozitif tamsayılar kümesi N+ ile gösterilir.
Z+={+1, +2, +3,…}

Başında “-” işareti olan tam sayılar negatif tamsayılar adını alırlar. 0′ın sol yanında yer alırlar. Negatif tamsayılar kümesi N- ile gösterilir. Çıkarma işlemini kolaylaştırmak için geliştirilmişlerdir.
Z-={…, -4, -3, -2, -1}

0 negatif veya pozitif bir tam sayı değildir. Bu iki kümeden herhangi birinde yer almaz.
Tam sayılar kullanılarak oluşturulan kesirlere denk gelen büyüklüklere rasyonel sayılar denir. Hisseli hesapları kolaylaştırmak için sayı kavramına dahil edilmişlerdir.
Rasyonel Sayılar Kümesi Q ile gösterilir. Bu kümenin elemanları “b” 0′dan farklı ve a ile b tam sayılar kümesinin elemanı olmak üzere a/b formatında yazılabilirler.

Örnek: 6/1, 8/3, -1/2, 5, 0.5

Tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayılar kümesine üyedir. Bunun nedeni altlarına 1 yazarak a/b formatına uygun hale getirilebilecek olmalarıdır.

İrrasyonel sayılar ise a/b şeklinde yazılamayan sayılardır. Q’ kümesi ile gösterilirler. Bu kümenin en bilinen üyesi pi sayısıdır.
Örnek:√2, ∏

Hiç bir rasyonel sayı irrasyonel sayılar kümesine dahil değildir. Aynı şekilde hiçbir irrasyonel sayı da rasyonel sayılar kümesine dahil değildir.

İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşimi reel sayıları oluşturur. Bu kümeye ‘gerçel’ veya ‘gerçek’ sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi’nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dahil edilmişlerdir.
Reel sayılar kümesi R harfi ile ifade edilir.

Tüm cebirsel denklemleri çözebilmek için reel sayılar tekrar genişletilirse kompleks sayılar Kümesi elde edilir. Kompleks sayıların sembolü C dir. Rönesans döneminde gerçekleşen cebirsel denklemlerin çözüm metodlarındaki ilerlemelerin bir uzantısı olarak sayı kavramına eklenmişlerdir. Gerçek olmayan sayılar fikri reel sayılar kümesinde karşılığı olmayan -1 sayısının karekökünden gelmektedir. Bu sayı “i” sembolü ile gösterilir ve karesi -1 olarak kabul edilir.

——————————————————————————–
Matematiksel notasyonda yukarıdaki bütün semboller büyük harfle ve kalın olarak yazılır.

——————————————————————————–
Bu sayılara ek olarak matematikte, kümeler teorisi‘nin uğraş alanında olan ordinal sayılar ve kardinal sayılar da sayı kavramının genişletilmesiyle elde edilmişlerdir. Bütünleme tekniğinin değişik bir uygulanmasıyla elde edilen p-sel sayılar ve reel sayılara sonsuz küçükler ve büyüklerin eklenmesiyle elde edilen sürreel sayılar da sayı kavramının parçaları olarak düşünülürler.

Not: Sıfırın doğal sayı kabul edilmediği (akademik) çevreler azımsanmayacak kadar fazladır. Sıfırın dahil edildiği doğal sayılar kümesini sembolü ile gösterirler..

DERS:Matematik
SINIF:6
SÜRE:40 dakika
ÖĞRENME ALANI:Sayılar
ALT ÖĞRENME ALANI:Tam Sayılar

KAZANIMLAR:

1)Tam sayıları açıklar
2)Bir sayının mutlak değerini bulur

Yukarda Şekilde Her araLık bir birime işaret etmektedir.. Buna Göre aşağıdaki soruLarı cevapLayınız..

1) Boş bırakılan yerleri çalışma sayfası 1’deki şekilden yararlanarak nesnelerin konum değişikliğini tam sayılarla ifade ediniz.

a) Balık 5 metre derinlikte iken ;2 metre yukarı çıkarsa _ _ _ _ _ _derinlikte olur.

b) Kayık 1 metre yükseklikte iken ;3 metre batarsa _ _ _ _ _ derinlikte olur.

c) Şapka 4 metre yükseklikte iken ; rüzgarla birlikte 4 metre yükselirse _ _ _ _ _ _ yükseklikte olur.

d) Deniz 0 metre yükseklikte iken ; 1 metre yükselirse _ _ _ _ _ yüksekliğe çıkar..

2) Aşağıdaki soruda ifade edilenleri boş bırakılan yerleri uygun tamsayılarla gösterirsiniz?

a)Deniz seviyesinin 5 metre altı = _ _ _ _ _ _ _ _

b) Deniz seviyesinin 6 metre üstü = _ _ _ _ _ _ _ _

c) Sıcaklık sıfırın altında 3 derece = _ _ _ _ _ _ _ _

d)Sıcaklık sıfırın üstünde 4 derece = _ _ _ _ _ _ _ _

3) Bir galerici almış olduğu 2 arasından 1.sinden 15 YTL kar ; 2. sinden 20 YTL zarar elde etmiştir; Bu kar zarar durumunu,tam sayılarla ifade ederiz?

15 YTL KAR = _ _ _ _ _ _ _

20 YTL ZARAR = _ _ _ _ _ _ _

DENK KESİRLER
a, b, c, d birer tamsayı ve b ile d sıfırdan farklı olmak üzere, a/b ile c/d birer kesir ve a.d = b.c ise, a/b ile c/d kesirlerine denk kesirler denir. Örneğin, 3/5 kesrine denk olan kesirler şöyle yazılabilir:

3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, … , 3m/5m, …
Burada, m sıfırdan farklı bir tamsayıdır. Bir kesrin pay ve paydası, sıfırdan farklı bir tamsayı ile çarpılır veya bölünürse, kesrin değeri değişmez. Bir kesrin payı ve paydası, aynı sayı ile çarpılırsa, buna kesrin genişletilmesi denir. Bir kesrin genişletilmesine şöyle örnek verebiliriz:
Şayet bir kesrin pay ve paydası, aynı sayı ile bölünürse, buna da kesrin sadeleştirilmesi denir. Bir kesrin sadeleştirilmesine de şöyle örnek verebiliriz:

BAYAĞI KESİR
a ve b birer doğal sayı ve b sıfırdan farklı olmak üzere, a/b şeklindeki ifadelere, bayağı kesir denir. Bayağı kesirler üçe ayrılır:
1. Basit Kesirler:
Payı, paydasından küçük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,

2/3, 3/5, 4/7, 1/2, 9/10, 1/3, 2/7, 10/15, …
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, basit kesirdir. Bununla birlikte, payı 1 olan basit kesirlere, birim kesirler denir. Burada, 1/2 ile 1/3 basit kesirlerinin payları 1 olduğu için, birim kesirlerdir.
2. Bileşik Kesirler:
Payı, paydasına eşit veya paydasından büyük olan bayağı kesirlerdir. Örneğin,

3/2, 5/3, 7/4, 2, 10/9, 3, 7/2, 15/10, 12/12, …
şeklindeki bayağı kesirlerin tümü, bileşik kesirdir. Çünkü, bu kesirlerin tümünün payı, paydasından büyüktür.
3. Tamsayılı Kesirler:
a, b, c birer doğal sayı ve b < c ve a sıfırdan farklı olmak üzere,
şeklinde gösterilen kesirlerdir. Yani, tamsayılı kesirler, sıfırdan farklı bir doğal sayı ve basit kesir ile birlikte yazılan kesirlerdir. Örneğin,
kesri, tamsayılı bir kesirdir. Buradan, bir tamsayılı kesrin, bileşik kesir şeklinde yazılabileceğini görürüz. Aynı şekilde, bir bileşik kesrin de tamsayılı kesir şeklinde yazılabileceğini söyleyebiliriz. Bileşik bir kesri, tamsayılı bir kesre şöyle çevirebiliriz: Kesrin payı, paydasına bölünür, bölüm tam kısmını, kalan pay kısmını oluşturur ve payda aynen alınır. Örneğin, 11/5 bileşik kesrini gözönüne alalım. 11, 5″ e bölünürse, bölüm 2 ve kalan 1 olduğundan,
şeklinde yazabiliriz.
Not: Kesirler, eksili (negatif) de olabilirler.
Örnek:
kesrinin basit bir kesir olabilmesi için, x kaç tane değer alır?
Çözüm:
Bir kesrin basit bir kesir olabilmesi için, payının paydasından küçük olması gerekir. Dolayısıyla, 2x - 3 < 12 olması gerekir. x” i yalnız bırakabilmek için, 3 sayısını eşitsizliğin sağ tarafına atarsak,

2x < 12 + 3
2x < 15
x < 15/2
bulunur. x doğal sayı olduğuna göre, 15/2″ den küçük doğal sayılar,

x = {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7}
dir. Bu nedenle, x, bu 8 tane değeri alırsa, kesir basit kesir olur.

RASYONEL SAYILAR
a ve b birer tamsayı, b sıfırdan farklı ve a ile b aralarında asal ise, a/b şeklinde yazılabilen sayılara, Rasyonel Sayı denir. Yani, denk kesirlerin belirttiği sayıdır. Rasyonel sayıların oluşturduğu topluluğa, Rasyonel Sayılar Kümesi denir ve Q ile gösterilir. Buradan, Rasyonel Sayılar Kümesini,

Q = {x: x=a/b; a, b Є Z ve b ≠ 0; a ile b aralarında asal }
şeklinde gösterebiliriz. Örneğin,

1/5, 2/3, 4, 8/5, -1/2, -6/5, 0, …
sayıları, birer rasyonel sayıdır.

Bazı Özellikler:
· Her doğal sayı, bir tamsayıdır.
· Her tamsayı, bir rasyonel sayıdır. Çünkü, tamsayıların paydası vardır ve 1″ dir.
· a/b = c/b ise, a=c dir.
· a/b=c/d ise, a.d=b.c dir.
· a ile b ve c ile d aralarında asal ve a/b=c/d ise, a=c ve b=d dir.

RASYONEL SAYILARLA İŞLEMLER
1. TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMİ:
Rasyonel sayılarla toplama ve çıkarma işleminin yapılabilmesi için, paydaların eşit olması gerekir. Şayet, paydalar eşit değilse, paydalar eşitlenir. Ortak payda, payda olarak alınırken, toplama işleminde payların toplamı paya, çıkarma işleminde payların farkı paya yazılır. Bu kuralı, aşağıdaki şekillerde gösterebiliriz:
Özellik: a/b sayısının toplama işlemine göre tersi, -a/b dir, yani ters işaretlisidir.

Örnekler:
2. ÇARPMA İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının çarpımı, payların çarpımı paya, paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır. Yani,
şeklinde yapılmalıdır. İşaret kuralı, tamsayılardaki gibidir. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi, b/a dır. a/b sayısının çarpma işlemine göre tersi,

(a/b)-1 = b/a
şeklinde gösterilir.

Örnekler:
3. BÖLME İŞLEMİ
Rasyonel iki sayının bölümü, ilk sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır. Yani, ilk sayı, ikinci sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır. Bölme işleminin genel kuralı,
şeklindedir. Burada b, c ve d” nin sıfırdan farklı olması gerekir. Çünkü, sıfıra bölme tanımsızdır. Diğer taraftan, sıfırın sıfırdan farklı bir sayıya bölümü, sıfırdır. İşaret kuralı, çarpma işlemindeki gibidir.

Örnekler:
Karışık Örnekler:
Örnek 1:
olduğuna göre,
toplamının a cinsinden değeri nedir?
Çözüm:
Bu iki ifadeyi taraf tarafa toplarsak,
olur. Yani, a+b=12 bulunur. Buradan, b=12-a çıkar.
Örnek 2:
sayısı,
sayısının kaç katıdır?
Çözüm:
Bir sayının bir başka sayının kaç katı olduğunu bulmak için, bölme işlemi yapılmalıdır. Bu takdirde,
Örnek 3:
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
Eşitliğin sol tarafı sonsuza dek gittiğinden,
yazabiliriz. Buradan, a/10 = 10-5, a/10 = 5, a= 10.5, a=50 bulunur.
Örnek 4:
Çözüm:
yazılabilir. Buradan,

4x + 5 = x2
x2-4x -5 = 0
Çarpımları -5, toplamları -4 olan iki sayı, -5 ile +1 olduğundan,
(x-5).(x+1) = 0
yazabiliriz. Böylece,
x=5 ile x=-1 bulunur. Pozitif değerlerin toplamı negatif olamayacağından, x = 5 olmalıdır.
Not: 5, 4″ ün 1 fazlası olduğundan, sonuç 5 çıkmıştır. 4″ ün yerinde 8 ve 5″ in yerinde 9 bulunsaydı, sonuç 9 olacaktı. 4″ ün yerine a ve 5″ in yerine de b koyarsak, şayet b, a” nın 1 fazlası (b=a+1) ise, bu işlemin sonucu, b olur.
Örnek 5:
işleminin sonucu, yaklaşık olarak aşağıdakilerden hangisi olabilir?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Çözüm:
Verilen işlem, sonsuzlu işlem olduğundan, 3″ ün paydasına x dersek, işlemin tamamı da x olur. Dolayısıyla,
yazabiliriz. Buradan, 4x -3 = x2, x2 -4x +3 = 0 olur. Bu denklem de, (x-3)(x-1)=0 şeklinde yazılabileceğinden, x=3 ile x=1 bulunur. Dolayısıyla, doğru seçenek (b) şıkkıdır.
Not:
işleminde, (a/2)2 = b ise, bu işlemin sonucu a/2 dir.
Örnek 6:
Çözüm: (8/2)2 = 42 = 16 olduğundan, işlemin sonucu a/2= 8/2 = 4 tür.

Kimileriniz dogruyu tam ortadan bölmeyi, kimileriniz de dogruyu üçte ikilik ve üçte birlik iki parçaya bölmeyi teklif edeceklerdir. Ama bu iki cevap da dogru degildir. Bu soruyu Eski Yunan Medeniyeti nde nasil çözdüklerine bir bakalim.

AB dogru parçasini öyle iki parçaya böleriz ki, küçük parçanin ( [AC] ) büyük parçaya orani ( [BC] ), büyük parçanin bütün dogruya oranina esit olsun.
Bu ifadeyi denkleme dökecek olursak

Burada içler dislar çarpimi yaparsak

Eger 1- x i esitligin sol tarafina geçirirsek

denklemini elde ederiz. Bu denklemin iki kökü vardir ve bunlarin degeri asagidaki gibidir

Yalniz bu köklerden 2. kök negatif oldugundan çözüm kümesine onu almayiz (hiç bir uzunluk negatif olamayacagindan), ilk kök ise bizim phi ??diye tanimladigimiz altin orani verir
? =1·61803 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576…

Peki altin orani bu kadar özel kilan nedir? ??sayisi mimaride, sanat eserlerinde, dogada bulunur ve ayrica fibonacci sayilari ile ilskilidir.

1201 yılında "Liber Abacci" (cebir kitabı manasına gelir) adında bir matematik kitabı yazmıştır. Bu kitapla Avrupa”ya Arap rakamlarını ve bugün kullandığımız sayı sistemini tanıtmıştır. Bu kitapta, ilkokulda öğrendiğimiz temel matematik (toplama, çarpma, çıkartma ve bölme) kurallarını bir çok örnek vererek anlatmıştır.
İsterseniz 1200 lü yılllarda Avrupa”da kullanılmakta olan Roma Rakamlarına bir bakalım ve onlarla işlem yapmanın ne kadar zor olduğunu görelim.
Roma Rakamları

I = 1 , V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000
Bu rakamlarla 13 XIII ve ya IIIX şeklinde, 2003 MMIII şeklinde, 99 LXXXXVIIII şeklinde ve 1998 MDCCCCLXXXXVIII şeklinde yazılır.
CCXXIII + XXVIII = CCI
CLXXIIII - XXVIII = CXXXXVI
Tahmin edebileceğiniz gibi Roma Rakamları ile aritmetik işlemleri yapmak hiçte kolay değildi.

FİBONACCİ SAYILARI

Gelelim Fibonacci”nin ünlü sorusuna..
"Bir çift yavru tavşan( bir erkek ve bir dişi) var. Bir ay sonra bu yavrular erginleşiyor.. Erginleşen her çift tavşan bir ay sonra bir çift yavru doğuruyorlar. Her yavru tavşan bir ay sonra erginleşiyorlar. Hiç bir tavşanın ölmediğini ve her dişi tvşanın bir erkek bir dişi yavru doğurduğunu varasayalım. Bir yıl sonra kaç tane tavşan olur?"
1. İlk ayın sonunda , sadece bir çift vardır.
2. ikinci ayın sonunda dişi bir çift yavru doğurur, ve elimizde 2 çift tavşan vardır.
3. Üçüncü ayın sonunda, ilk dişimiz bir çift yavru doğurur, 3 çift tavşanımız olur.
4. Dördüncü ayın sonunda , ilk dişimiz yeni bir çift yavru daha doğurur, iki ay önce doğan dişi de bir çift yavru doğurur ve 5 çift tavşanımız vardır.

Bu şekilde devam ederek şu diziyi elde ederiz: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,89, 144
Dizideli sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin olduğu ay) ile Aralık arasındaki ayların her birinde kıtır kıtır havuç yiyen tavşan çiftlerinin sayısını vermektedir.
Serinin nasıl oluştuğunu anlayabildiniz mi? Bu dizi çok basit şekilde oluşmaktadır. Bu dizideki her sayı (ilk ikisi dışında) kendinden evvel gelen iki sayının toplamına eşittir.
Peki, bu diziyi böylesine ilginç kılan nedir? Bunu üç ayrı nedene bağlayabiliriz.
1. İlk olarak dizinin küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde karşımıza çıkmasıdır.; bitkiler, böcekler, çiçekler vb. şeylerle ilgili olarak..
2. İkinci neden, oranların limit değeri olan 0,618033989 sayısının çok öenmli bir sayı olmasıdır. ALTIN ORAN diye adlandırılan bu sayı Leonardo da Vinci”nin resimlerinden eski Yunan tapınaklarına kadar bir çok sanat eserinde ve doğada karşımıza çıkan bir sayıdır.
3. Üçüncüsü ise sayılar teorisinde beklenmedik biçimde farklı bir çok kullanımı olmasıdır.
FİBONACCİ SAYILARI VE ALTIN ORAN

Fibonacci serisindeki n. terimi Fn olarak ifade edelim. Fibonacci dizisi bu şekilde F1, F2, F3, …., Fn,….
olarak yazılabilir. bu dizi sonsuza kadar devam eder.
eğer her Fibonacci sayısını bir sonraki komşusuyla bölerek bu oran yazılırsa,
F1/F2 = 2, F2/ F3 = 1/2 .. şeklinde devam edersek aşağıdaki diziyi elde ederiz.

1,000000, 0,500000, 0,666666, 0,600000, 0,625000, 0,615358, 0,619048, 0,617467, 0,618182, 0,617978, 0,618056, 0,618026, 0,618037, 0,618033, 0,618034, 0,618034
bu sayılar bir 0,618034… sayısına doğru gidiyorlar. Altın oran 1,618… ve bu limit de onun ondalık kısmı.

FİBONACCİ SAYILARI VE BİTKİLER
Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz farkedersiniz ki, yapraklar, hiç bir yaprak altaki yaprağı kapmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığın eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor. Bir bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacici sayıları bulursunuz.

Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci sayısıdır.
Mesela, yandaki resimde en baştaki dalı incelersek, başlangıç noktası olarak 1 numaralı yaprağı alırsak, kendisiyle aynı yönde bir başka yaprakla karşılaşabilmemiz için 3 defa saat yönünde bir dönüş yapmamız gerekir ve bu esnada 5 tane yaprak sayarız. Eğer bu dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak 2 tane dönüş gerekecektir. Ve 2, 3, 5 ardışık fibonacci sayılarıdır.
Resimde yer alan dalı incelediğimizde ise 8 yaprak üstünden geçtiğimiz 5 tane saat yönünde dönüş yaparız. Saat yönünün ters istikametinde ise bu dönüş sayısı 3 olacaktır.
3, 5, 8 ise ardışık Fibonacci sayılarıdır.

Bunu en üsteki bitki için şöyle de yazabilirsiniz. 3/5 (saat yönündeki dönüş başına yaprak sayısı) Doğada yer alan ağaçlar için bu sayılar şöyle yazılabilir.
Karaağaç, Ihlamur Ağacı, çimen : 1/2 Kayın Ağacı, fındık Ağacı, Böğürtlen :1/3
Meşe, elma ağacı, kiraz ağacı: 2/5

Papatya FİBONACCİ SAYILARI VE ÇİÇEKLER

Bir çok çiçeğin taç yaprak sayısı Fibonacci saysısıdır.
3 taç yapraklı bitkiler: zambak, iris
5 taç yapraklı bitkiler: düğünçiçeği, yabani gül, hezaren çiçeği
8 taç yapraklı bitkiler: delphinium
13 taç yapraklı bitkiler: kanaryaotu, kadife çiçeği, cineraria
21 taç yapraklı bitkiler: hindiba, yıldız çiçeği
34 taç yapraklı bitkiler: bir çeşit muz bitkisi, pirekapan
55, 89 taç yapraklı bitkiler: bir tür papatya

Zambak

Ayçiçeği

Ananas
FİBONACCİ SAYILARI VE BİTKİ TOHUMLARI

Fibonacci sayıları ayrıca çiçeklerin tohumlarında da görülebilir. Eğer bir papatyanın ve ya bir ayçiçeğinin çiçek kısmını büyütseniz muhtemelen yandaki resme benzer bir görüntü elde edersiniz.
Eğer şekildeki modelde, saat yönünde olan ve saaat yönünde olmayan sarmalları sayarsanız, 21 ve 34 sayılarını elde edersiniz ki bu sayılar ardışık iki fibonacci sayısııdır.
Fibonacci sayılarına sadece ayçiçeklerinde ve ya papatyalarda değil, bir kıvırcığın yapraklarında bir ananas ve ya kozalakların kat kat kabuklarında, soğanın katmanları arasında da rastlayabilirsiniz.

KOZALAKLAR

Kozalaklar fibonacci sayılarını çok açık bir şekilde gösterirler. Kırmızı ve yeşil spiralleri saydığınızda ne görüyorsunuz?
(Resimlerin üzerine tıklayarak onları büyütebilirsiniz.)

Profesyonel matematikçiliğin ilk yıllarında, aynı üiversiteden E.Heine”nin Cantor”a sorduğu bir soru Cantor”un yaşamını, matematiğin de seyrini değiştirecekti. Soru şuydu: [0,2pi] aralığında toplamı sıfır olan bir trigonometrik serinin katsayılarının hepsi sıfır mıdır?

Cantor bu soruyla uğraşırken gerçel sayıların o güne kadar fark edilmeyen bir özelliğinin farkına varır: Rasyonel sayılarla irrasyonel sayılar aynı çoklukta değildir. Başka bir ifadeyle, rasyonel sayılar kümesiyle irrasyonel sayılar kümesi arasında, her ikisi de sonsuz olmasına karşın, bir eşleşme yoktur. O halde bu iki kümenin sonsuzlukları aynı değildir. Böylelikle ortaya küme kavramı ve kümelerin, içerdikleri eleman "çokluğu" açısından sınıflandırılması sorunu çıktı. Bu son kavram "sonsuzun" tek değil, çok olduğunu söylemektedir. Bu da çok tepki çekecekti.

Tarih boyunca, Zeno”dan başlayarak, günümüze kadar, sonsuzluk kavramı ve düşüncesi insanları rahatsız etmiştir. Aristo”dan Cantor”a kadar geçen zaman diliminde "sonsuz" anlayışı, temelde Aristo”nun görüşü olan şu anlayıştır: Sonsuz, ufuk çizgisi gibi, var olmayan ama konuşma kolaylığı sağladığı içinkullandığımız bir kavramdır. Bu kavramı "sınırsızlık" kavramı yerine kullanırız; bir şey, çoğalarak ya da büyüyerek, önceden belirleyeceğimiz bir çokluğun ya da büyüklüğün ötesine geçme potansiyeline sahipse, o şeye "sonsuza gidiyor" deriz. Başka bir deyimle, Aristo”nun sonsuz anlayışı "potansiyel sonsuz" anlayışıdır.

Cantor”a göre ise "sonsuz" tek başına anlamlı bir sözcük değildir. Anlamlı olan "sonsuz küme" kavramıdır. Sonsuz kümeler de var olan nesnelerdir. Burada "sonsuz küme" deyimi, "büyükanne" gibi, bölünmez bir terim olarak anlaşılmalıdır. O halde kümeler önce sonlu-sonsuz diye ikiye ayrılacak; sonra da sonsuz kümeler, kendi aralarında, sonsuzluklarına göre çeşitli sınıflara ayrılacaklardır. Böylelikle ortaya sayısız "sonsuz küme" sınıfları çıkacaktır. Bu da çok çeşitli "sonsuzlğun" olduğu anlamına gelmektedir.

Cantor”un bu sonsuzluk anlayışı, Leopold Kronecker ve Henri Poincaré gibi bir çok ünlü matematikçi tarafından tepkiyle karşılandı. Bunun sonucu olarak da, matematikçiler, "sonsuzu" Cantor gibi algılayanlar ve Aristo gibi algılayanlar olmak üzere iki gruba ayrıldılar.

NOT:Her tam sayı rasyonel sayı olarak yazılabilir.
ÖR:
Yandaki şekilde,bir bütün 4 eş parçaya
bölünmüş ve bu eş paçalardan üç tanesi . taranmıştır.

3
4

Taralı bölge,bütünün üç tane parçası(kesri)dir.Bu parçaları belirten kesir, 3 biçiminde gösterilir.
4
3 kesrinde; 3’e pay,4’e payda denir: 3 kesri, “üç bölü dört” ya da “dörtte üç” diye okunur.

NOT:Sıfırdan büyük olan rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılar da negatif rasyonel sayılar denir.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi “Q+”ile gösterilir. Negatif rasyonel sayılar kümesi”Q-“ile gösterilir.

Q = Q- U {0} U Q+

-1-
B)Rasyonel Sayıları Karşılaştırma (büyüklük ,küçüklük)
1-Paydaları eşit olan rasyonel sayılar:
Paydaları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda payı büyük olan daha büyük,payı küçük olan daha küçüktür.

ÖR: 15 , 7 , 3 3 7 15
20 20 20 20 20 20

Paydaları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Payı büyük olan negatif rasyonel sayılar küçük,payı küçük olan negatif rasyonel sayılar büyüktür.
ÖR: 15 , 7 , 3 15 7 3
20 20 20 20 20 20

2-Payları eşit olan rasyonel sayılar:
Payları eşit olan pozitif rasyonel sayılarda paydası küçük olan daha büyük, paydası büyük olan daha küçüktür.

ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 3 5 9

Payları eşit olan negatif rasyonel sayılar pozitifin tam tersidir.Paydası büyük olan negatif rasyonel sayılar büyük paydası küçük olan negatif rasyonel sayılar küçüktür.

ÖR: 7 , 7 , 7 7 7 7
9 5 3 9 5 3

3-Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılar:
Payı ve paydaları farklı olan rasyonel sayılarda pay paydaya bölünerek sıralama yapılır.
ÖR: 18 , 7 , 48 18:3=6 48 7 18
3 4 57 7:4=1,75 57 4 3
48:57=0,84

-2-

Arada olma
İki rasyonel sayı arasına bir yada birkaç rasyonel sayı yerleştirmeye denir.
ÖR: 2 ile 4
3 5

I.YOL: 2 4 II:YOL:2 4 III.YOL: 1 2 4
3 5 3 5 2 3 5
2

1 2 4 1 10 12 1 22 22
2 3 5 2 15 15 2 15 30

ÖR: 5 ile 7 1 5 7 1 15 14
4 6 2 4 6 2 12 12

1 29 29
2 12 24

5 29 7
4 24 6
C-İrrasyonel sayılar:
Sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olmasına karşın,rasyonel olmayan
gibi sayılara irrasyonel sayılar denir.İrrasyonel sayıların oluşturduğu kümeye irrasyonel sayılar kümesi denir.
Gerçek (reel) sayılar kümesi:Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayıların birleşim kümesine gerçek (reel) sayılar kümesi denir.Gerçek
sayılar kümesi ,sayı ekseninin her noktasını doldurur.Sayı doğrusu üzerinde her noktaya bir gerçek sayı her gerçek sayıya da bir nokta karşılık gelir.
Gerçek sayılar kümesi,”R” sembolü ile gösterilir.
-3-

2-RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

a)Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Aynı işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken ,rasyonel sayıların paydaları eşit değilse ,paydalar eşitlenir.Payların mutlak değerleri toplamı paya yazılır.Ortak payda,paydaya yazılır.toplananların ortak işareti,toplama ,işaret olarak verilir.

Tam sayılı kesirler toplanırken ,bu kesirler bileşik kesre çevrilerek toplama işlemi yapılır.

ÖR: +3 +7 +3 +35 +3 +38
5 1 5 35 3 5

b)Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi
Ters işaretli iki rasyonel sayının toplama işlemi yapılırken, rasyonel sayıların paydaları eşit değilse eşitlenir.payların mutlak değerleri farkı alınır,paya yazılır.Ortak payda ,paydaya yazılır.toplam olan rasyonel sayının işareti ise,mutlak değeri büyük olan rasyonel sayının işaretidir.

ÖR: 1 2 1 20 24 15
3 5 4 60 60 60

+20+24+(-15)
60

+44+(-15)
60

29
60

-4-
3-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE TOPLAMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

a)Kapalılık özelliği:İki rasyonel sayının toplamı , yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.

ÖR: - 2 + 2 -4 +2 -2
3 6 6 6 6

b)Değişme özelliği:Rasyonel sayılar kümesinde,toplama işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -4 +1 -8 +7 -1
7 2 14 14 14

+1 -4 +7 -8 -1
2 7 14 14 14

-4 +1 +1 - 4
7 2 2 7

c)Birleşme özelliği:rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.

ÖR: 4 3 1 4 4 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 7 1 8
5 5 5 5 5 5

4 3 1 4 3 1
5 5 5 5 5 5

-5-
d)Etkisiz (birim) eleman özelliği:”0”tam sayısına,rasyonel sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz (birim )elemanı denir.
ÖR: -7 -7 -7 -7
9 9 9 9

buna göre;

-7 -7
9 9

e)Ters eleman özelliği:Toplamları “0”tam sayısına eşit olan iki rasyonel sayıya toplama işlemine göre birbirinin tersi denir.

ÖR: +5 -5
20 20

-5 +5
20 20

4-RASYONEL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının farkı bulunurken,eksilen rasyonel sayı,çıkan rasyonel sayının toplama işlemine göre tersi ile toplanır.

ÖR: +3 +1 +3 -1 +18 -5 +13
5 6 5 6 30 30 30

ÖR: +7 +5 +7 +25
10 2 10 10

+7 -25 -18
10 10 10

-6-

Yukarıda verilen örneğe göre iki rasyonel sayının farkı,yine bir rasyonel sayıdır.Buna göre ;
Rasyonel sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.

5-RASYONEL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ
İki rasyonel sayının çarpma işlemi payların çarpımı paya,paydaların çarpımı paydaya yazılarak yapılır.

NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının çarpımı pozitif , ters işaretli iki rasyonel sayının çarpımı ise negatif bir rasyonel sayıdır.
Yani:
+ x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -

ÖR: -4 +3 (-4)x(+3) -12
1 4 1 x 4 4

NOT:Tam sayılı kesir biçminde verilen rasyonel sayılar çarpılırken önce tam sayılı kesirler bileşik kesre çevrilir.Sonra çarpma işlemi yapılır.

6-RASYONEL SAYILAR KÜMESİNDE ÇARPMA
İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
a)Kapalılık özelliği:
İki rasyonel sayının çarpımı yine bir rasyonel sayıdır.Yani rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.

ÖR: +3 -2 -6
4 3 12

-7-
b)Değişme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.

ÖR: -19 -1 +19
20 3 60

-1 -19 -19
3 20 60

c)Birleşme özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
ÖR: +3 -2 +1 -6 +1 -6
1 3 5 3 5 15

+3 -2 +1 +3 -2 -6
1 3 5 1 15 15

d)Yutan eleman:
Bir rasyonel sayının “0”sayısı ile çarpımı “0”dır.”0”sayısına ,çarpma işleminin yutan elemanı denir.

ÖR: -7 -7
9 9

e)Etkisiz birim eleman:
+1 rasyonel sayısına, çarpma işlemine göre etkisiz (birim) eleman denir.

ÖR: +4 +4 +4 +4
3 3 3 3

-8-
f)Ters eleman:
Çarpımları +1 olan iki rasyonel sayıya çarpma işlemine göre tersi denir.

ÖR: +2 +3 2 x 3 +1
3 2 3 x 2 1

g)Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

ÖR: +1 +2 +1 +1 +3 +3
2 4 4 2 4 8

+1 +2 +1 +1 +2 +1 +1
2 4 4 2 4 2 4

+2 1 +3
8 8 8

h)Çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği:
Rasyonel sayılar kümesinde , çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖR: 1 2 1 1 1 1
2 4 4 2 4 8

1 2 1 1 2 1 1
2 4 4 2 4 2 4

2 1
8 8

1
8

-9-
7-RASYONEL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ
İki rasyonel sayının bölme işlemi yapılırken, bölünene rasyonel sayı , bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi ile çarpılır.Elde edilen çarpım bölümü verir.
NOT:Aynı işaretli iki rasyonel sayının bölümü pozitif;ters işaretli ki rasyonel sayının bölümü ise negatif bir rasyonel sayıdır.

Yani: + x + = +
- x - = +
- x + = -
+ x - = -

ÖR: -3 +2 -3 +4 -3
4 4 4 2 2

+1 tam sayısının , bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm,bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 1 -7 -7
7 1 2 2

(-1)tam sayısının, bir rasyonel sayıya bölünmesinden elde edilen bölüm bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersinin ters işaretlisine eşittir.

ÖR: 12 +17 17
17 12 12

-10-
Bir rasyonel sayının , +1 tamsayısına bölünmesinden elde edilen bölüm , rasyonel sayının kendisine eşittir.

Bir rasyonel sayının,(-1) tamsayısına bölünmesinden elde edilen
bölüm , bölünen rasyonel sayının toplama işlemine göre tersine eşittir.

ÖR: -2 -2 1 -2 1 -2
7 7 1 7 1 7

ÖR: -2 -2 -1 -2 -1 2
7 7 1 7 1 7

NOT:Sıfır sayısının , sıfırdan farklı olan her rasyonel sayıya bölümü ”0” dır.

Bir rasyonel sayının sıfıra bölümü taımsızdır.
Rasyonel sayılar kümesinde bölme işleminde , doğal sayılar ve tam sayılar kümesindeki bölme işleminde olduğu gibi; ”bölünen = bölen x bölüm” ilişkisi vardır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesi , bölme işlemine göre kapalıdır.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin değişme özelliği yoktur.

NOT:Rasyonel sayılar kümesinde , bölme işleminin birleşme özelliği yoktur.